Алексей Костин родился в 1977 году в Борисоглебске. Окончил Петрозаводскую государственную консерваторию (2001, класс доцента В.Дзюбука).
С 1997 года – артист Симфонического оркестра Карельской государственной филармонии (группа фаготов).
С 1998 по 2022 годы Алексей Костин являлся концертмейстером группы фаготов оркестра Музыкального театра Республики Карелия. С 2001 по 2006 годы – преподавал в Петрозаводском музыкальном колледже имени К.Э.Раутио (класс фагота). Ученики, ставшие под его руководством лауреатами международных конкурсов, ныне работают в симфонических оркестрах России, в том числе и в Карельской филармонии.
Артист неоднократно становился лауреатом различных молодежных международных конкурсов игры на духовых инструментах. Но безусловным признанием и высочайшей оценкой профессиональных заслуг музыканта можно считать победу в конкурсе на участие в Международном фестивале симфонических оркестров мира в Москве в 2008 году (художественный руководитель и дирижер – Валерий Гергиев): отбор участников проводился между лучшими оркестрами России, по результатам прослушивания огромного количества претендентов именно петрозаводский музыкант возглавил в фестивальном оркестре группу фаготов.
Алексей Костин ведет активную концертную деятельность, активно откликается на предложения коллег и исполняет музыку в составе различных ансамблей. Камерный репертуар фаготиста широк и разнообразен: от сонат барокко, ансамблей эпохи классицизма и романтизма до сочинений новейшего времени.
С февраля 2022 года является исполняющим обязанности директора Симфонического оркестра Карельской государственной филармонии.
В 2023 году Алексей Костин удостоен почетного звания «заслуженный артист Республики Карелия».